|
Каждый знает, что такое "домино": это игровые кости, сделанные из двух соединенных квадратов. В каждом квадрате домино есть от 0 до 6 точек; в большинстве игр с использованием домино необходимо подобрать пару двум домино с одинаковым числом точек.
Математики любят обобщать. В 1953 году математик по имени Соломон Голомб придумал концепцию полимино: Полимино - это геометрические объекты, сделанные путем соединения определенного количества квадратов друг с другом. Полимино можно принять за монолитные объекты, которые можно взять и передвинуть. Существует много головоломок, основанных на полимино.
Перед вами несколько образцов полимино:
Мономино |
Домино |
Тромино |
Тетромино |
Пентомино |
Гексомино |
|
Можно образовать полимино с любым количеством квадратов. Как вы видите, мономино можно образовать только одним способом. Тем не менее, для всех других видов полимино существует много способов образования. Например, есть два способа образовать тромино:
|
 |
1. В качестве разминки предлагаем вам следующую задачу
Существует 5 разных тетромино (фигура, состоящая из 4 квадратов). Найдите их все. Докажите, что существует не больше 5 видов тетромино. Изобразите свои результаты на листе в клетку.
Прежде чем изобразить свои результаты на бумаге, должно быть вы хотите соорудить тетромино из квадратной плитки или кубов.
|
|
Возникает интересный вопрос:как можно быть уверенным, что 2 тетромино различны? Например, перед вами 2 тетромино, которые выглядят по-разному. Но с математической точки зрения, они одинаковы. Скажите, почему?
|
A |
B |
Тетромино А и Вконгруэнтны. Если повернуть тетромино А на 90 градусов вправо, то он совпадет с тетромино В. Это один из общих способов проверки плоских фигур на конгруэнтность. Представьте, тетромино в качестве объекта, который можно переместить. Если взять одну из фигур и вращать ее до тех пор, пока она не совпадет с другой фигурой, то такие две фигуры будут конгруэнтными.
2. А теперь главная задача
Найдите все возможные пентомино - фигуры, состоящие из 5 квадратов, имеющих хотя бы одну общую грань. Сколько вы сможете найти различных пентомино? Как вы узнаете, что нашли все пентомино? Изобразите свои результаты на листе в клетку.
Большая подсказка
Если взять шахматную доску и убрать у нее все 4 угловых квадрата, то получим шаблон, в котором точно поместятся все различные пентомино. Если вы сможете поместить все свои различные пентомино в эту фигуру, то найдете все возможные пентомино. (Однако это не так-то и просто. Методом проб и ошибок, а также с помощью объемного мышления и огромного терпения вы добьетесь результата.)
3. 3. Дополнительная задача
После того, как вы удостоверитесь, что нашли все пентомино, попробуйте найти все возможные гексомино (фигуры, состоящие из 6 квадратов). Изобразите свои результаты на листе в клетку.
Математическая часть
Существует множество математических задач с использованием полимино. Вы найдете сотни таких задач в книге Соломона Голомба "Полимино: головоломки, шаблоны, задачи и упаковки", (Издательство Принстонского университета, второе издание, 1994). В ней вы найдете сотни задач, многие из которых можно решать просто ради забавы как геометрические головоломки. Если вы серьезный математик, то найдете достаточно доказательств, а также много занимательных и до сих пор не обоснованных гипотез (по крайней мере, что касается публикации этой книги).
Существует 3 фундаментальные математические концепции, рассмотренные в головоломке этого месяца. Первая — это концепция конгруэнтности, описанная ниже.
С математической точки зрения, 2 фигуры будут конгруэнтными, если они одной формы и размера, не зависимо от их расположения. Если взять одну из фигур и вращать ее до тех пор, пока она не совпадет с другой фигурой, то такие две фигуры будут конгруэнтными. Это один из способов определения конгруэнтности. Но есть и другие.
Следующая концепция заключается в необходимости удостовериться, одинаковы ли математические объекты или нет. Из-за того, что 2 полимино выглядят по-разному, нельзя быть уверенным в этом до тех пор, пока вы не установите, что одна фигура не конгруэнтна другой. В случае с полимино, конгруэнтность — это способ проверки, но у математиков на счету есть еще много других способов, которые можно использовать применительно к любым проблемам.
Третья концепция сводится к тому, чтобы отыскать все возможные пути решения определенной задачи. В комбинаторике, это общий тип задачи. Например, найдите все возможные способы расставить все цифры от 1 до N. Или более привычный пример. В ресторане подают пиццу с четырьмя разными начинками: луком, грибами, сосисками и сыром. Сколько видов пицц можно приготовить, используя 1, 2, 3 или 4 начинку? (Безусловно, в нормальном ресторане используют более чем 4 вида начинки.)
Проблемы комбинаторики, рассматриваемые геометрией, могут быть намного сложнее. Например, если N - это количество квадратов в полимино, нет определенного правила или формулы, чтобы определить количество различных полимино, состоящих из N-квадратов. (Математики разработали точное число полимино для различных значений N, но общего правила так и не было найдено.)
В дополнение к книге Соломона Голомба "Полимино" должны быть еще и другие книги о полимино, написанные для серьезных и занимательных математиков. Поиск информации о полимино в Интернете выдаст вам множество ссылок и даже загружаемые игры о полимино. Если вы близко знакомы с игрой "Тетрис", то вы узнаете в этих фигурках тетромино.
Поэкспериментируйте, а затем .
|
