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Todo mundo sabe o que é “dominó”: um jogo composto de dois quadrados adjacentes. Um dominó tem de zero a 6 pontos em cada quadrado, e a maioria dos jogos com dominós envolve a combinação de dois dominós com o mesmo número de pontos.
Os matemáticos gostam de generalizar. Em 1953 um matemático chamado Solomon Golomb inventou a idéia dos poliominós: objetos geométricos feitos conectando-se um certo número de quadrados com suas laterais correspondentes. Podemos pensar nos poliominós como objetos sólidos que podem ser pegos e movidos. Há vários quebra-cabeças que podem ser feitos usando peças de poliominós.
Aqui estão alguns exemplos de poliominós:
Monominó |
Dominó |
Trominó |
Tetrominó |
Pentominó |
Hexominó |
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Podemos formar poliominós com qualquer número de quadrados. Como podemos ver, há apenas um jeito de se formar um monominó ou dominó. Contudo, há um número crescentemente maior de maneiras de formar cada outro tipo de poliominó. Por exemplo, existem duas maneiras de formar trominós:
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1. Aqui vai um pequeno problema de aquecimento para você
Temos exatamente cinco tetrominós (formas feitas a partir de quatro quadrados) diferentes. Você consegue encontrá-los? Você consegue provar que não existem mais do que cinco? Desenhe seus resultados em papel quadriculado.
Você pode pegar ou fazer algumas telhas quadradas ou cubos e construir seus tetrominós antes de desenhá-los em papel quadriculado.
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Aqui vai uma pergunta interessante: Como você pode ter certeza de que dois tetrominós são diferentes? Por exemplo, aqui estão dois tetrominós que parecem diferentes. Mas matematicamente eles são iguais. Você entende por quê?
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A |
B |
Os tetrominós A e B são congruentes. Se você pegasse o tetrominó A e girasse-o 90 graus à direita, você poderia mostrar que ele se encaixa exatamente sobre o tetrominó B. Esse é um teste comum que pode ser usado para determinar se duas formas bidimensionais quaisquer são congruentes. Pense nos tetrominós como objetos que podem ser pegos e movidos. Se você pegar uma das formas e girá-la, dobrá-la e/ou deslizá-la para que ela se encaixe exatamente sobre as outras formas, então as duas formas são congruentes.
2. Aqui está o problema principal
Encontre todos os pentaminós possíveis: formas feitas ligando-se exatamente cinco quadrados de forma que eles sejam correspondentes em pelo menos uma borda. Quantos pentominós diferentes podemos encontrar? Quando podemos saber que todos foram encontrados? Desenhe seus resultados em papel quadriculado.
Aqui vai uma grande dica
Se você pegar um tabuleiro de xadrez e remover os quatro quadrados dos cantos, terá um padrão no qual todos os pentominós diferentes irão se encaixar perfeitamente. Se você conseguir encaixar todas as peças diferentes nesse formato, você terá descoberto todos os pentominós possíveis. (Contudo, essa não é uma tarefa fácil. É preciso tentativa e erro, visualização espacial e muita paciência.)
3. 3. Aqui vai um desafio extra
Depois que estiver certo de que encontrou todos os pentominós, veja se consegue encontrar todos os hexominós (formas compostas de seis quadrados) possíveis. Desenhe seus resultados em papel quadriculado.
Introdução Matemática
Existem inúmeros problemas matemáticos que podem ser propostos e resolvidos usando-se poliominós. Você encontrará centenas deles em um livro de Solomon W. Golomb chamado Poliominós: Quebra-Cabeças, Padrões, Problemas e Empacotamentos, (em inglês, Princeton University Press, Segunda Edição, 1994). Nele você irá encontrar literalmente centenas de problemas, muitos dos quais podem ser tentados por diversão como quebra-cabeças geométricos. Se você for um matemático sério, encontrará várias provas, bem como conjecturas intrigantes que ainda não foram definitivamente provadas (pelo menos até a publicação do livro).
Há três idéias matemáticas poderosas envolvidas nos enigmas deste mês. A primeira delas é o conceito de congruência, introduzido acima.
Matematicamente, duas formas são congruentes se tiverem o mesmo tamanho e formato, independentemente de sua orientação. Se você pegar uma das formas e girá-la, dobrá-la e/ou deslizá-la para que ela se encaixe exatamente sobre as outras formas, então as duas formas são congruentes. Este é um teste simples de congruência. Há muitos outros.
A segunda é a idéia de que às vezes precisamos testar para termos certeza se dois objetos matemáticos são iguais ou diferentes. Apenas porque dois poliominós parecem diferentes não podemos ter certeza de que realmente o são, até que tenhamos pego um deles e nos certificado de que não são congruentes um com o outro. Para poliominós, a congruência é o teste—mas os matemáticos têm vários outros testes que podem usar para diferentes tipos de problemas.
A terceira é a idéia de encontrar todas as formas possíveis de resolver um problema em particular. Este é um tipo comum de problema em matemática combinatória. Por exemplo, encontre todas as formas possíveis de dispor os números de 1 a n. Ou, para um exemplo mais cotidiano, um restaurante serve pizza com quatro recheios diferentes: cebola, champignon, linguiça e mussarela. Quantos tipos diferentes de pizza eles podem servir usando 1, 2, 3 ou 4 dos recheios? (É claro que um restaurante de verdade provavelmente teria muito mais opções de recheio.)
Problemas de combinatória envolvendo geometria podem ser muito mais complexos. Por exemplo, se N for o número de quadrados em um poliominó, não há nenhuma regra ou fórmula conhecida que possa dizer quantos poliominós diferentes podem ser construídos para qualquer valor de N. (Os matemáticos descobriram o número exato de poliominós para muitos valores de N, mas nenhuma regra geral foi encontrada.)
Além do livro original de Solomon Golomb, Poliominós (em inglês), há vários outros livros escritos sobre eles para matemáticos sérios e recreacionais. Se você procurar poliominós na Internet, encontrará milhares de referências e até mesmo alguns jogos de poliominós para baixar. Se estiver familiarizado com o jogo de computador Tetris, você reconhecerá que as peças do jogo são todas tetrominós.
Depois de tentar por conta própria, .
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