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Redes para Poliedros

Enigmas Matemáticos do Mês 
Redes para Poliedros

 

rede cubo

O enigma do mês passado envolvia encontrar redes para cubos. Uma rede é um formato bidimensional que pode ser dobrado para formar uma figura tridimensional. Por exemplo, o hexominó (forma composta de seis quadrados) mostrado na figura pode ser dobrado duas vezes para formar um cubo. Os quadrados vermelhos se dobram para formar a base e as laterais do cubo; o quadrado verde se dobra para formar o cubo.

O cubo é um tipo especial de figura tridimensional, chamado de poliedro regular. O cubo é um poliedro regular porque todas as suas faces são polígonos regulares congruentes.

Este mês tentaremos encontrar redes para três piloedros relacionados: um tetraedro regular (4 faces triangulares equiláteras), um octaedro regular (8 faces triangulares equiláteras) e para outro poliedro comum, a pirâmide quadrada (4 triângulos equiláteros e um quadrado).

 

Desafio 1

Quantas redes você consegue encontrar para um tetraedro? O tetraedro tem quatro faces, portanto cada rede é composta de quatro triângulos equiláteros, unidos pelas bordas.

  tetraedro

Desafio 2

Quantas redes você consegue encontrar para uma pirâmide quadrada? Uma pirâmide quadrada tem uma face quadrada e quatro faces triangulares, de forma que cada rede é composta de um quadrado e quatro triângulos equiláteros, unidos pelas bordas? Tente encontrar todas as redes possíveis.

  pirâmide

Desafio 3

Encontre pelo menos uma rede para um octaedro regular. Veja se consegue encontrar mais de uma. Cada rede é composta de oito triângulos equiláteros, unidos pelas bordas.

  octaedro

Background

Primeiro, algumas definições. Um polígono é uma forma fechada bidimensional cujas bordas são linhas retas que não se cruzam umas com as outras. Um poliedro é uma figura tridimensional, sólida ou oca, cujos lados são polígonos. A palavra vem do grego poly, muitos, + edros, lateral ou base. Um poliedro regular é aquele cujas faces são todas polígonos regulares congruentes. Na verdade existem apenas cinco poliedros regulares, às vezes chamados de “sólidos Pitagóricos,” o cubo e quatros outros: um tetraedro (4 faces), octaedro (8 faces), dodecaedro (12 faces) e icosaedro (20 faces).

 

tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

 

 

 

Existem inúmeros websites que falam da matemática dos Poliedros. Aqui vão alguns (em inglês):

Geometria dos Poliedros

Stella: Navegador de Poliedros

Desdobrando Poliedros

As geometrias bidimensional e tridimensional geralmente são estudadas como se fossem disciplinas distintas. Nos enigmas deste mês e do mês passado, estudamos uma forma pelas quais essas matérias se relacionam—através da construção deredes, formas bidimensionais compostas de polígonos que se dobram em poliedros.

Este enigma utiliza três outras idéias matemáticas importantes.

A primeira é o conceito de congruência, que é necessário quando tentamos decidir se duas formas que parecem diferentes são na verdade idênticas. Matematicamente, duas formas são congruentes se tiverem o mesmo tamanho e formato, independentemente de sua orientação. Se você pegar uma das formas e girá-la, dobrá-la e/ou deslizá-la para que ela se encaixe exatamente sobre as outras formas, então as duas formas são congruentes. Este é um teste simples de congruência. Há muitos outros. Como exemplo, considere essas três formas, cada uma composta de quatro triângulos equiláteros e um quadrado. Duas delas são congruentes? Você consegue identificar quais?

 

 

rede rede rede

 

A segunda é a idéia de que às vezes precisamos testar para termos certeza se dois objetos matemáticos são iguais ou diferentes. Apenas porque dois objetos parecem diferentes não podemos ter certeza de que realmente o são, até que tenhamos pego um deles e nos certificado de que não são congruentes um com o outro. Para redes, a congruência é o teste—mas os matemáticos têm vários outros testes que podem usar para diferentes tipos de problemas.

A terceira é a idéia de encontrar todas as formas possíveis de resolver um problema em particular. Este é um tipo comum de problema em matemática combinatória. Por exemplo, encontre todas as formas possíveis de ordenar os números de um a n. Ou, para um exemplo mais cotidiano, um restaurante serve pizza com quatro recheios diferentes: cebola, champignon, linguiça e mussarela. Quantos tipos diferentes de pizza eles podem servir usando 1, 2, 3 ou 4 dos recheios? (É claro que um restaurante de verdade provavelmente teria muito mais opções de recheio.)

Problemas de combinatória envolvendo geometria podem ser muito mais complexos. Por exemplo, se N é o número de faces em um poliedro, não há nenhuma regra ou fórmula conhecida que possa dizer quantas redes diferentes podem ser construídas para um poliedro com N faces. (Os matemáticos descobriram o número exato de redes para muitos poliedros diferentes, mas nunca encontraram uma regra geral.)

Existe uma importante estratégia de resolução de problemas que pode ser usada no enigma deste mês. Depois de resolver um problema, você pode conseguir usar a solução para o primeiro problema para resolver outro mais difícil.

 

Depois de tentar por conta própria, confira nossas soluções.


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