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Solución: Julio de 2007 Acertijo matemático: Redes de poliedros

Solución: Julio de 2007 

Acertijo Matemático

Redes de poliedros

tetraedroDesafío 1
¿Cuántas redes puedes encontrar para un tetraedro regular?

Esta es bastante fácil. Hay sólo tres formas de acomodar cuatro triángulos equiláteros en patrones con sus bordes alineados.

 

 

redes
1A 1B 1C

 

Es bastante fácil visualizar que el primer patrón, 1A, funciona como una red: simplemente tienes que doblar los tres triángulos externos. Los vértices se unen en un punto y el triángulo central forma una base.

Ahora mira el segundo patrón, 1B. Tiene cuatro bordes externos y dos bordes internos. Los bordes internos son los que forman una “V”. Visualiza cómo doblar los cuatro triángulos de modo que los bordes internos se unan en un punto central y formen un vértice. Lo que obtienes es una “carpa” abierta con cuatro lados triangulares y sin fondo. Así que el patrón 1B no es una red de tetraedro.

El patrón 1C es más difícil de visualizar en posición plegada. Debes armar este patrón, cortarlo y doblarlo para saber si el patrón 1C se puede plegar para formar un tetraedro.

pyramid Desafío 2
¿Puedes encontrar todas las redes posibles para una pirámide cuadrada?

           

Es un poco difícil porque es más que simplemente acomodar cuatro triángulos y un cuadrado en un patrón. Sin embargo, si comenzamos con lo que aprendimos en el tetraedro, podemos simplificar el problema bastante rápido. Primero de todo, podemos eliminar los patrones que incluyen una red para un tetraedro, como los patrones 1A y 1C. Esto es necesario porque los cuatro triángulos de este patrón se plegarán en sí mismos sin dejar lugar para una base cuadrada.

Por otro lado, ya sabemos que el patrón 1B se pliega para formar una “carpa” de cuatro lados. Así que si agregamos un cuadrado a uno de los bordes exteriores, obtenemos una red para una pirámide. Los patrones 2A y 2B son redes para una pirámide. Sin embargo, el patrón 2C no funciona porque al poner el cuadrado en el interior del patrón 1B no se puede formar la “carpa”.

 

 

redes
2A 2B 2C

 

Ahora hemos usado todos los patrones basados en la “carpa” de cuatro triángulos. Pero hay una forma más fácil poniendo el cuadrado en el medio de cuatro triángulos.

           

 

 

red
2D

 

Ahora hemos usado todas las formas fáciles de armar una red, así que tenemos que considerar las posibilidades que incluyen un cuadrado y dos pares de triángulos. Hay cuatro patrones que podemos formar con este tipo de disposición.

 

 

redes
2E 2F 2G 2H

 

Son más difíciles de visualizar así que puede ser más fácil armarlas y cortarlas. Si lo haces, verás que los patrones 2E y 2F forman redes para una pirámide mientras que los patrones 2G y 2H no lo hacen. Si te fijas detenidamente en los patrones 2G y 2H, podrás visualizar que para 2G no hay un triángulo que pueda llegar al borde superior del cuadrado, y para 2H, no hay un triángulo que pueda llegar al borde derecho del cuadrado.

Tenemos 5 redes hasta ahora, 2A, 2B, 2D, 2E y 2F. ¿Podemos encontrar más? Para responder a esta pregunta, debemos tener en cuenta patrones que tienen un par de triángulos y dos triángulos separados. Hay tres de éstos.

 

 

redes
2I 2J 2K

 

Si los miramos bien, veremos que sólo el 2J puede funcionar. Para el 2I y el 2K, no hay un triángulo que pueda llegar al borde más alejado del cuadrado.

Por último, debemos tener en cuenta todos los patrones que tienen tres triángulos juntos y un triángulo separado. Hay seis patrones así:

 

 

redes
2L 2M 2N
redes
2O 2P 2Q

 

Imagina los tres triángulos juntos, doblados en una pequeña carpa de tres lados alrededor del triángulo medio y dejando un espacio abierto para que un cuadrado o un triángulo llegue a los lados abiertos. Analiza los patrones 2L y 2M. Cuando los tres triángulos se doblan no hay forma de que se unan en un lado del cuadrado. Lo mismo sucede con 2O. Por otro lado, para 2N, la carpa de tres triángulos se une en ambos lados del cuadrado y el lado opuesto se pliega para formar la pirámide. Así que el patrón 2 funciona. Esto nos deja a los patrones 2P y 2Q para investigar. Si puedes cortar ambos patrones, verás que 2P no funciona y que 2Q sí funciona. Así que, de este último grupo, tenemos 2 redes más, para 8 redes en total:

 

 

redes
2A 2B 2D 2E 2F 2J 2N 2Q

 

octaedroDesafío 3:
¿Puedes encontrar por lo menos una red para un octaedro regular?

 

El octaedro consiste en 8 triángulos equiláteros. Hay 40 o más patrones diferentes posibles usando 8 triángulos. Es posible, pero tedioso, generar todos los patrones y eliminar los que no funcionan. Pero si buscamos sólo uno o dos, podemos usar lo que hicimos para las pirámides de tetraedros y aplicarlo a los octaedros.

octaedroPor ejemplo, un octaedro se puede pensar como dos pirámides cuadradas, puestas juntas.

De modo que, si podemos formar dos carpas de cuatro triángulos, podemos acomodarlas para formar un octaedro. Un grupo de cuatro triángulos que forma esta carpa es el patrón 1B.

 

redes

 

Si formamos dos de estos patrones y los unimos, de borde externo a borde externo, tendremos una red para un octaedro. Hay seis formas diferentes de hacerlo:

 

 

redes
3A 3B 3C
redes
3D 3E 3F

 

Así que hay varias redes más para el octaedro, pero usando la “carpa” pudimos encontrar seis redes diferentes muy rápidamente.