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Solución: Acertijo Matemático de abril de 2007: Cuadrados mágicos

Solución: Acertijo matemático de abril de 2007
Cuadrados mágicos

Acertijo 1
El objetivo es colocar todos los números del 1 al 9 adentro de uno de los cuadrados de modo que todas las líneas que pasan por el cuadrado central sumen el mismo número.

Cuadrados

Cuando trates de resolverlo, descubrirás rápidamente que el número del cuadrado central, que es parte de cada suma, debe ser 5, el número en el medio del conjunto. Después, no importa en qué cuadro empieces. Supongamos que comienzas con el mayor número de los números restantes, 9. Entonces coloca el número menor restante, 1, en el cuadro opuesto para obtener una suma de 9 + 5 + 1 = 15.

Cuadrados 

 

Luego elige el mayor y el menor de los números restantes, 8 y 2. Si les sumas 5 a estos números también obtienes 15. No importa en qué cuadros vayan siempre que sean opuestos entre sí. 3 y 7, 6 y 4 son los dos últimos pares de números que completan el acertijo.

Cuadrados

 

Acertijo 2
Después de resolver el Acertijo 1, el Acertijo 2 es relativamente más fácil. Aplica las mismas ideas: coloca 5 en el medio y usa 9 y 1, 8 y 2, 7 y 3, 6 y 4, súmales 5 y obtén 15. Esta vez la posición sí es importante porque las líneas deben sumarse en más de un sentido.

Puedes probar diferentes posibilidades. Por ejemplo, comienza con 5 en el centro y 9 y 1 a lo largo de una diagonal. Veamos si puede funcionar.

9

   
 

5

 
   

1

 

Ahora busca dónde podemos colocar los dos números siguientes, 8 y 2. El 8 no puede ir en ninguno de los dos ángulos restantes ni puede ir a lo largo de una fila o columna que incluya 9. Así que el 8 debe ir en un cuadro lateral o inferior opuesto al 2.

9

   

2

5

8

   

1

   

Ahora bien, como 9 y 2 sumados son 11, necesitamos un 4 en el ángulo inferior derecho para que verticalmente sumen 15. Esto significa que necesitamos 6 en el ángulo superior derecho.

Al principio parece bien porque en la columna derecha, 6 + 8 + 1 también suman 15. Pero si miramos desde de la parte superior, veremos que no sirve porque 9 + 6 dan 16. Debería haber un 0 en el medio, lo que no está permitido. En forma similar, a lo largo de la fila inferior, 4 + 1 = 5, por lo que necesitamos un 10 en el medio. Pero tampoco está permitido. Así que tenemos que concluir que nuestro movimiento inicial, de poner 9 en un ángulo, fue incorrecto. (No interesa qué ángulo, no podemos tener 9 en ningún ángulo y completar el cuadrado mágico.) Si no estás convencido, inténtalo.

En cambio, pongamos 9 y 1 abajo de la columna central. Podríamos probar con 9 y 1 a través desde la fila central y el resultado sería el mismo.

 

9

 

6

2

5

8

4

 

1

 
 

9

 
 

5

 
 

1

 
 

Ahora busquemos un lugar para el 8 y el 2. Pongámoslos a través de la fila central.

 

9

 

8

5

2

 

1

 
 

Ahora el 7 debe ir en el ángulo inferior derecho, lo que significa que el 3 va arriba a la derecha.

3

9

 

8

5

2

 

1

7

   

Ahora tenemos otra complicación. Si agregamos a través de la parte superior, necesitamos un 3 arriba a la derecha para obtener 15 pero ya usamos el 3. Así que esta disposición no servirá. Volvamos a 9 y 1 en la columna central pero ahora pongamos 8 en el ángulo inferior derecho y 2 en el superior derecho.

2

9

 
 

5

 
 

1

8

   

Si sumamos a través de la parte superior, necesitamos un 4 arriba a la derecha y, por lo tanto, un 8 abajo a la izquierda.

 

2

9

4

 

5

 

6

1

8

   

Parece que va bien. La fila superior suma 15 y también la fila inferior. Ahora podemos colocar el 7 y 3 en los dos lugares restantes. ¡¡SÍ!! Si ponemos 7 a la izquierda y 3 a la derecha, ¡nuestro cuadrado mágico está completo! ¡Cada fila, columna y diagonal suman 15!

2

9

4

7

5

3

6

1

8

   

Ahora bien, ¿tenemos otras soluciones? En realidad no. Podríamos mover el cuadrado intercambiando las filas superiores e inferiores o las columnas izquierda y derecha. O podríamos girar el cuadrado 90 grados, 180 grados o 270 grados. De hecho hay ocho posibilidades diferentes, que corresponden a cuatro lugares de inicio diferentes para el 9 y dos cuadros de inicio diferentes para el 8. Puedes solucionarlo por tu cuenta.

Acertijo 3a
¿Podemos hacer un cuadrado mágico usando los primeros nueve números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18? ¡La respuesta es sí! Cada uno de estos números es el doble de uno de los números en el primer cuadrado mágico. Así que si reemplazamos el 9 en el cuadrado original por 18, el 8 por el 16 y así sucesivamente, las filas, columnas y diagonales todas sumarán 30. ¡Inténtalo!

Acertijo 3b  
Este es un poco menos evidente. ¿Podemos hacer un cuadrado mágico usando los primeros nueve números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17? Hagamos un pequeño experimento de razonamiento. 9 es el número del medio del conjunto. Si ponemos el 9 en el cuadrado del medio y 17 y 1 abajo del centro, sumarían 27. Usa los números mayores y menores, 15 y 3. 15 + 3 + 9 = 27 También 13 + 5 + 9 y 11 + 7 + 9. Así que podemos construir un cuadrado mágico con todas las filas y las columnas que sumen 27. Inténtalo.

Acertijo 4
Hay muchos otros conjuntos de 9 números que pueden formar un cuadrado mágico. ¡De hecho hay una cantidad infinita! Por ejemplo, multiplica cada número del cuadrado mágico original por el mismo número, por ejemplo, 7. Entonces nuestros números serán 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. Esto formará un cuadrado mágico con cada fila, columna y diagonal que sumen 7 x 5 o 105.

Pero todavía hay más. Esta es una prueba algebraica de que puedes comenzar con cualquier número y crear una serie de números que difiera del número anterior mediante una constante. Por ejemplo, si nuestro primer número es A, y la diferencia entre los números es N, nuestro conjunto numérico es:

A, A+N, A + 2N, A + 3N, A + 4N, A + 5N, A + 6N, A+ 7N, A + 8N.

   

A + 4N es el 5º o número del medio. Si sumamos el primer número, el último número y el número del medio, obtendremos

A + (A + 4N) + (A + 8N) = 3A + 12N.

Si sumamos el segundo número, el número del medio y anteúltimo, obtendremos:

(A + N) + (A + 4N) + (A + 7N) = 3A + 12N

.... y así sucesivamente. Así se formará un cuadrado mágico en el que cada fila, columna y diagonal sumen 3A + 12N.

Compruébalo.

A+N

A+8N

A+3N

A+6N

A+4N

A+2N

A+5N

A

A+7N

 

Acertijo 5  
De modo que hay una cantidad infinita de cuadrados mágicos. ¿Eso significa que todos los conjuntos posibles de 9 números diferentes se pueden usar para un cuadrado mágico? Es fácil probar que no es así. Por ejemplo, tomemos el primer conjunto de nueve números pares del 2 al 18. Estos forman un cuadrado mágico que suma 30. Reemplaza un número por un número impar. Supongamos que reemplazamos 2 por 1 y mantenemos todos los demás números iguales, 4, 6, 8, … 18. Estos números no pueden formar un cuadrado mágico. Cada suma que incluya un 1 más dos números pares, tendrá un resultado impar. Cada suma que incluya tres números pares será par. Por lo tanto, no hay cuadrado mágico.

Acertijo 6  
Intenta formar un cuadrado mágico de 4 x 4 usando los números del 1 al 16. Hay muchos cuadrados mágicos diferentes de 4 x 4. Primero deberías averiguar la suma de cada fila, columna y diagonal. La suma de todos los números del 1 al 16 es (16 +1) + (15 + 2) + … + (8 + 9) = 17 x 8 = 136. (Esta es una técnica para sumar una serie de números en la que sumas los dos números finales y vas avanzando hacia el medio.) Esto equivaldría a la suma de cuatro filas cuando el cuadrado mágico esté completo, de modo que la suma de cualquier fila es 136/4 = 34.

Este es un método para hacer un cuadrado mágico de 4 x 4. Se encuentra en un libro, de Jerome S. Meyer, Fun With Mathematics (Cleveland: World Publishing Company, 1952). Primero cuenta del 1 al 16 comenzando arriba a la izquierda y siguiendo diagonalmente por cada fila de izquierda a derecha. Pero sólo debes escribir un número en un cuadro cuando esté sobre una diagonal.

1

   

4

 

6

7

 
 

10

11

 

13

 

 

16

   

Luego comienza en el primer cuadrado vacío y cuenta, empezando desde 15, y escribe cada número que no esté todavía en el cuadrado. Los números nuevos están en rojo.

El resultado es un cuadrado mágico de 4 x 4, en el que cada fila, columna y diagonal suman 34. Una característica interesante de este cuadrado es que los números en los cuadrados de 2 x 2 en cada ángulo también suman 34.

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

 

Acertijo 7  
¿Es posible formar un cuadrado mágico de 2 x 2? ¿Podemos probar que es imposible?

Primero, probemos con los números 1, 2, 3 y 4. Está muy claro que no hay forma de acomodar estos números de modo que sumen el mismo número en diferentes sentidos.

1

2

3

4

Ambas diagonales suman 5 pero las filas y las columnas no. Si hacemos que las filas sumen 5, las diagonales y las columnas no lo harán.

3

2

1

4

 

Usando el álgebra, podemos probar que un cuadrado mágico de 2 x 2 es imposible. Supongamos que usamos cuatro números diferentes, A, B, C y D. Entonces si pudiésemos hacer un cuadrado mágico, las cuatro filas, columnas y diagonales sumarían el mismo número, N.

A

B

C

D

Podemos escribir 6 ecuaciones, A + B = N, C + D = N, A + C = N, B + D = N, A + D = N y C + B = N.

Ahora resuelve la primera ecuación para A:

A = N – B

Si resolvemos la tercera ecuación para A, obtendremos A = N – C. Si decimos A = A entonces obtendremos N – C = N – B. Es decir, B = C. Esto no puede ser un cuadrado mágico porque en un cuadrado mágico los números son diferentes. De hecho, la única forma en que las 6 ecuaciones sean verdaderas es si A = B = C = D. ¡Definitivamente no es un cuadrado mágico!