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Solution : énigme de septembre 2006 : Heures, minutes et secondes

Solution : énigme de septembre 2006
Heures, minutes et secondes

Cherchons tout d’abord combien de fois l’aiguille des minutes et celle des heures se superposent complètement au cours d'un cycle de 12 heures. Le point de départ des aiguilles est fixé à 00 h 00 min.

Entre 00 h 00 min et 1 h 00 min, l’aiguille des minutes devance toujours l’aiguille des heures. Les deux aiguilles se superposent complètement à 1h05 min. Essayez par vous-même si vous avez une montre ou une horloge avec un cadran à aiguille qui permet de changer l'heure !

De la même manière, l’aiguille des minutes croise celle des heures encore dix fois, plus précisément une fois par heure à 1h00, 2h00, 3h00, 4h00 et ainsi de suite jusqu’à la 10ème. A l'inverse entre 11h00 min et 12h00 min, l'aiguille des minutes ne rattrape jamais l'aiguille des heures jusqu'à ce que les deux aiguilles s'alignent à nouveau à 12h00 min exactement. Au cours d'un cycle complet de 12 heures, les aiguilles se superposent 12 fois, si l'on inclut la position de départ et la position d'arrivée des aiguilles.

Horloge

Réfléchissons maintenant au nombre de fois où les aiguilles se superposent complètement. Le modèle reste le même, mais le nombre d'ocurences change. Les deux aiguilles sont complètement superposées à leur position de départ à 00 h 00 min s. Ensuite, entre 00 h 00 min 00 s et 00 h 01 min 00 s, l'aiguille des secondes devance toujours l'aiguille des minutes. Les aiguilles se croisent ensuite à la 1ère minute (01 min 01 s), puis à la deuxième minute (02 min 02 s), et ainsi de suite à chaque minute jusqu'à la 59ème minute (59 min 59 s). A ce stade, l'aiguille des secondes ne rattrape pas l'aiguilles des minutes jusqu'à la 60ème minute (01 h 00 min 00 s). Ainsi, les aiguilles des minutes et des secondes se superposent 60 fois par heure, si l'on inclut la position de départ et d'arrivée des aiguilles.

Horloge

Vous pouvez supposer que puisque les aiguilles des heures et des minutes se superposent 12 fois en 12 heures et que les aiguilles des minutes et des secondes se superposent une fois par minute, il est fort probable que les trois aiguilles s'alignent à un moment donné au cours d’une heure.

Toutefois, afin de vérifier cette hypothèse, nous devons effectuer quelques calculs précis. Commencez par les aiguilles des heures et des minutes. Chaque fois que l’aiguille des minutes se déplace de 60 minutes, l’aiguille des heures avance d'1 heure, soit l'équivalent de 5 minutes sur le cadran de la montre ou de l'horloge. De plus, chaque fois que l’aiguille des minutes se déplace de 12 minutes, l’aiguille des heures avance de l'équivalent d'1 minute sur le cadran.

Si MP représente la position des heures sur les marques des minutes du cadran, si H est l’heure et si M est le nombre de minutes écoulées de cette heure, alors :

MP = 5 H + M/12.

Pour savoir à quel moment précis les aiguilles des minutes et des heures se superposent, nous devons régler la position de l'aiguille des heures sur les marques des minutes du cadran pour qu'elle soit égale au nombre de minutes. Voyons s'il existe une solution :

M = 5 H + M/12.

En multipliant les deux côtés de l'équation par 12, nous obtenons :

12 M = 60 H + M.

En redistribuant les termes de l’équation, nous obtenons :

11 M = 60 H, ou M = 60 H/11.

Par exemple, si H = 1, M = 60/11 = 5-5/11 minutes. En d’autres termes, l’aiguille des heures et celle des minutes se superposent complètement à 01 h 05-5/11 min. Pour convertir les 5/11 minutes en secondes, multiplions 5/11 par 60. Nous obtenons 27-3/11 secondes. Par conséquent, l'heure précise de superposition est 01 h 05 min 27-3/11 s. Nous pouvons établir un tableau de résultats, en remplaçant H = 2, 3, 4, etc. dans l’équation (3).

 

Heure (H)

Minutes écoulées de cette heure (M)

Temps exact exprimé en heures, minutes et secondes

12-1

0

12:00:00

1-2

5-5/11

01:05:27-311

2-3

10-10/11

02:10:54-6/11

3-4

16-4/11

03:16:21-9/11

4-5

21-9/11

04:21:49-1/11

5-6

27-3/11

05:27:16-4/11

6-7

32-8/11

06:32:43-7/11

7-8

38-2/11

07:38:10-10/11

8-9

43-7/11

08:43:38-2/11

9-10

49-1/11

09:49:05-5/11

10-11

54-6/11

10:54:32-8/11

11-12

60

12:00:00

A présent, effectuons un calcul semblable pour trouver à quel moment précis l’aiguille des heures et celle des minutes se croisent.

Au début de chaque minute, l’aiguille des secondes est sur 0. Chaque fois que l’aiguille des secondes se déplace d’1 seconde, l'aiguille des minutes avance d'1/60 de minute sur le cadran.

Entre la minute M et la minute M+1, la position de l’aiguille des minutes est donnée par :

M + S/60.

Pour savoir à quel moment l’aiguille des secondes se superpose avec celle des minutes, nous déterminons cette valeur pour qu'elle soit égale au nombre des secondes S :

S = M + S/60 (5).

En multipliant les deux côtés par 60, en procédant à une redistribution de l'équation et en exprimant les S en M, nous obtenons :

S = 60 M/59.

Cela signifie qu'à chaque minute, il y a une position exprimée en nombre de secondes et 59 ème de seconde, où les deux aiguilles se superposent complètement.

Maintenant, nous pouvons vous donner la réponse à notre énigme. L’hypothèse selon laquelle les trois aiguilles se superposent à des heures autres que 00 h 00 min 00 s et 12 h 00 min 00 s est erronée. En réalité, les 3 aiguilles ne peuvent jamais se superposer sauf à 12 h 00 min 00 s. Ceci est dû au fait que les heures auxquelles les aiguilles des minutes et des secondes se croisent sont données au 59ème de seconde près et que les heures auxquelles les aiguilles des heures et des minutes se superposent sont données au 11ème de seconde près. Puisque 11 et 59 sont tous les deux des nombres premiers, les deux valeurs fractionnelles ne peuvent en aucun cas être exactement égales, même si elles sont très proches.

Si nous voulons achever le calcul, nous pouvons savoir à quel moment précis les aiguilles des secondes et des minutes se croisent pour chaque minute pendant laquelle les aiguilles des heures et des minutes sont superposées. Ceci implique de nombreux calculs, mais permet de mettre en évidence les moments où les aiguilles se rapprochent le plus d'une superposition parfaite.

 

Heure
(H)

minutes écoulées
dans l'heure (M)

Aiguilles des heures et des minutes
heures correspondantes
M= 60H/11

Aiguilles des minutes et des secondes
heures correspondantes
S = 60 M/59

12-1

0

12:00:00

12:00:00

1-2

5-6

01:05:27-311

01:05:05-5/59

2-3

10-11

02:10:54-6/11

02:10:10-10/59

3-4

16-17

03:16:21-9/11

03:16:16-16/59

4-5

21-22

04:21:49-1/11

04:21:21-21/59

5-6

27-28

05:27:16-4/11

05:27:27-27/59

6-7

32-33

06:32:46-7/11

06:32:32-32/59

7-8

38-39

07:38:10-10/11

07:38:38-28/59

8-9

43-44

08:43:38-2/11

08:43:43-43/59

9-10

49-50

09:49:05-5/11

09:49:49-49/59

10-11

54-55

10:54:32-8/11

10:54:54-54/59

11-12

60

12:00:00

12:00:00

Les trois aiguilles sont les plus proches entre 03 h 16 min et 03 h 17 min,lapse de temps pendant lequel l’aiguille des minutes et celle des secondes se superposent environ 5 secondes avant que l'aiguille des minutes et des heures se superposent à leur tour ; ainsi qu’entre 8 h 43 min et 8 h 44 min, laps de temps pendant lequel l’aiguille des minutes et celle des secondes se superposent environ 5 secondes après celle des heures et des minutes.