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Solution : énigme d'avril 2007 : Les carrés magiques

Solution : énigme d'avril 2007
Les carrés magiques

Enigme 1
L'objectif est de placer chacun des chiffres de 1 à 9, à l'intérieur de l'un des carrés de sorte que toutes les lignes qui traversent le carré central s'ajoutent au même chiffre.

Carrés

Vous découvrirez rapidement au moment de résoudre cette énigme, que le chiffre dans le carré central, qui fait partie de chaque somme, doit être le 5, le chiffre au centre du jeu. Ensuite, peu importe la case par laquelle vous commencez. Supposons que vous commenciez par le chiffre le plus grand parmi les chiffres restants, soit le 9. Puis, vous placez le plus petit chiffre restant, à savoir le 1, dans la case opposée pour obtenir une somme de 9 + 5 + 1 = 15.

Carrés

 

Ensuite, choisissez les plus grands et les plus petits des chiffres restants, soit 8 et 2. En les ajoutant à 5, vous obteniez également 15. Peu importe les cases dans lesquelles vous les placez, tant qu'ils sont à l'opposé l'un de l'autre. 3 et 7, 6 et 4 sont les deux dernières paires de chiffres qui viennent compléter l'énigme.

Carrés

 

 

 

Enigme 2
Après avoir résolu l'énigme 1, l'énigme 2 est relativement simple. Utilisez les mêmes idées : placez 5 au centre et utilisez 9 et 1, 8 et 2, 7 et 3, 6 et 4, pour les additionner avec le 5 et obtenir 15. Cette fois, la position compte, car les lignes doivent s'ajouter dans plusieurs directions.

Vous pouvez essayer plusieurs possibilités différentes. Par exemple, commencez avec le 5 au centre et le 9 et le 1 dans une diagonale. Voyons si cela peut fonctionner.

9

   
 

5

 
   

1

 

Regardons maintenant où placer les deux chiffres suivants, 8 et 2. Le 8 ne peut pas aller dans les deux angles restants et il ne peut pas aller dans une ligne ou une colonne qui inclut le 9. Donc, le 8 doit aller sur un côté ou dans une case du bas avec 2 à l'opposé.

9

   

2

5

8

   

1

   

Etant donné que 9 et 2 font 11, nous devons placer un 4 dans l'angle inférieur droit pour l'ajouter verticalement et obtenir 15. Cela signifie que 6 doit être placé dans l'angle supérieur droit.

Au départ, cela semble correct car sur la colonne de droite, 6 + 8 + 1 donne également 15. Mais si nous regardons la ligne du haut, cela ne peut pas fonctionner car 9 + 6 fait déjà 15. Le chiffre 0, qui n'est pas autorisé, serait le seul possible dans la case en haut au centre. De même, sur la ligne du bas, 4 + 1 = 5 et donc il faudrait ajouter 10 au centre. 10 n'est pas autorisé. Donc, nous devons conclure que notre premier placement, à savoir le 9 dans un angle, est incorrect. (Peu importe l'angle, nous ne pouvons pas placer le 9 dans un angle si nous voulons compléter le carré magique. Si vous n'êtes pas convaincu, vérifiez par vous-même.)

Plaçons donc 9 et 1 dans la colonne centrale. En plaçant le 9 et le 1 dans la ligne centrale, le résultat serait le même.

 

9

 

6

2

5

8

4

 

1

 
 

9

 
 

5

 
 

1

 
 

Ensuite, cherchons à placer 8 et 2. Plaçons-les dans la ligne centrale.

 

9

 

8

5

2

 

1

 
 

Maintenant, le 7 doit être placé dans l'angle inférieur droit, ce qui signifie que le 3 est placé dans l'angle supérieur gauche.

3

9

 

8

5

2

 

1

7

   

Et nous voici face à une nouvelle contradiction. Il faudrait ajouter le 3 dans l'angle supérieur droit pour faire 15, mais nous avons déjà utilisé le 3. Donc, ce placement ne fonctionne pas. Gardons 9 et 1 dans la colonne centrale, mais plaçons maintenant le 8 dans l'angle inférieur droit et le 2 dans l'angle supérieur gauche.

2

9

 
 

5

 
 

1

8

   

Dans l'angle supérieur droit, il faudrait ajouter le 4 et donc le 6 dans l'angle inférieur gauche.

 

2

9

4

 

5

 

6

1

8

   

Cela semble bon. La ligne supérieure donne 15 tout comme la ligne inférieure. Nous pouvons enfin placer le 7 et le 3 dans les deux cases restantes. Eh oui!! Si nous plaçons le 7 à gauche et le 3 à droite, notre carré magique est terminé ! Chaque ligne, colonne et diagonale donne un total de 15 !

2

9

4

7

5

3

6

1

8

   

Maintenant, y a-t-il d'autres solutions ? Pas vraiment. Nous pourrions faire pivoter le carré en échangeant les lignes du haut et du bas ou en échangeant les colonnes de droite et de gauche. Ou nous pourrions faire pivoter le carré de 90 degrés, 180 degrés ou 270 degrés. En effet, il existe huit possibilités différentes, correspondant à quatre emplacement de départ différents pour le 9 et deux cases de départ différentes pour le 8. Vous pouvez essayer de les trouver.

Enigme 3a
Pouvons-nous créer un carré magique en utilisant les neuf premiers nombres pairs : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18? La réponse est oui !! Chacun de ces nombres est simplement le double de l'un des chiffres utilisés dans le premier carré magique. Donc, si nous remplaçons le 9 dans le carré d'origine par le 18, le 8 par le 16, etc..., les lignes, les colonnes et les diagonales doivent donner un total de 30. Essayez !

Enigme 3b  
C'est un peu moins évident. Pouvons-nous créer un carré magique en utilisant les neuf premiers nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17? Faisons une petite expérience. 9 est le chiffre central dans le carré. Si nous plaçons le 9 dans la case centrale puis le 17 et le 1 dans la colonne centrale, cela donne 27. Prenons ensuite les nombres les plus grands et les plus petits, soit 15 et 3. 15 + 3 + 9 = 27 ! Tout comme 13 + 5 + 9 et comme 11 + 7 + 9. Donc, nous pouvons construire un carré magique avec toutes les lignes et les colonnes pour trouver 27. Essayez !

Enigme 4
Il existe de nombreux autres ensembles de 9 nombres qui peuvent former un carré magique. En fait, il en existe un nombre infini ! Par exemple, nous pouvons multiplier chaque nombre dans le carré magique d'origine par le même nombre, comme par exemple le 7. Alors, nos nombres seront 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. Cela formera un carré magique avec chaque ligne, colonne et diagonale donnant un résultat de 7 x 15 ou 105.

Mais ce n'est pas tout ! Voici la preuve algébrique que vous pouvez commencer par n'importe quel nombre et créer une série de nombres qui diffèrent tous du nombre précédent par une constante. Admettons que notre premier nombre est A et que la différence entre les nombres est N. Notre ensemble de nombres est :

A, A+N, A + 2N, A + 3N, A + 4N, A + 5N, A + 6N, A+ 7N, A + 8N.

   

A + 4N est le 5ème ou le nombre central. En ajoutant le premier, le dernier et celui du milieu, nous obtenons :

A + (A + 4N) + (A + 8N) = 3A + 12N.

En ajoutant le deuxième, celui du milieu et l'avant-dernier, nous obtenons :

(A + N) + (A + 4N) + (A + 7N) = 3A + 12N

... et ainsi de suite. Cela donne un carré magique dans lequel chaque ligne, colonne et diagonale donnent 3A + 12N.

Vérifiez par vous-même !

A+N

A+8N

A+3N

A+6N

A+4N

A+2N

A+5N

Une

A+7N

 

Enigme 5  
Ainsi, il existe un nombre infini de carrés magiques. Cela signifie-t-il que tous les ensembles possibles de 9 nombres différents peuvent être utilisés pour un carré magique ? Il est facile de prouver que ce n'est pas le cas. Par exemple, prenons l'ensemble des neuf nombres pairs de 2 à 18. Ceux-ci forment un carré magique pour donner 30. Remplaçons un nombre par un nombre impair. Supposons que nous remplaçons le 2 par le 1 et que nous conservons tous les autres nombres : 4, 6, 8, … 18. Ces nombres ne peuvent pas former un carré magique. Chaque somme qui inclut un 1 plus deux nombres pairs, sera impaire. Chaque somme qui inclut trois nombres pairs sera paire. Et donc, pas de carré magique !!

Enigme 6  
Essayons de former un carré magique de 4 x 4 cases en utilisant les nombres de 1 à 16. Il existe plusieurs carrés magiques de 4 x 4 différents. Tout d'abord, il serait bon de trouver la somme de chaque ligne, colonne et diagonale. La somme de tous les nombres de 1 à 16 est (16 +1) + (15 + 2) + … + (8 + 9) = 17 x 8 = 136. (Il s'agit d'une technique pour additionner une série de nombres : ajouter les deux derniers nombres et travailler vers le centre.) Cela donne un total égal à la somme des quatre lignes lorsque le carré magique est complet, ainsi la somme de n'importe quelle ligne est 136/4 = 34.

Voici une méthode pour créer un carré magique de 4 x 4. Elle a été trouvée dans un livre de Jerome S. Meyer, Fun With Mathematics (Cleveland: World Publishing Company, 1952). Comptons d'abord de 1 à 16 en commençant en haut à gauche et en remplissant chaque ligne dans l'ordre, de gauche à droite. Mais écrivons uniquement dans les cases les nombres qui se trouvent dans une diagonale.

1

   

4

 

6

7

 
 

10

11

 

13

 

 

16

   

Puis, commençons dans la première case vide et comptons à rebours, en commençant par le 15 et en écrivant chaque nombre qui n'est pas déjà dans le carré. Les nouveaux nombres sont indiqués en rouge.

Le résultat est un carré magique de 4 x 4, avec chaque ligne, colonne et diagonale donnant un résultat de 34. Une caractéristique intéressante de ce carré est que les nombres dans les carrés 2 x 2 dans chaque angle s'ajoutent également pour donner 34.

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

 

Enigme 7  
Est-il possible de faire un carré magique de 2 x 2 ? Pouvons-nous prouver que c'est impossible ?

Tout d'abord, essayons avec les nombres 1, 2, 3 et 4. Il est assez clair qu'il n'existe aucun moyen de placer ces nombres de manière à ce qu'ils s'ajoutent pour donner le même résultat dans différentes directions.

1

2

3

4

Les deux diagonales donnent un total de 5, mais ce n'est pas le cas pour les lignes et les colonnes. Si nous faisons en sorte que les lignes donnent 5, ce n'est pas possible pour les diagonales et les colonnes.

3

2

1

4

 

En utilisant l'algèbre, nous pouvons prouver qu'il est impossible de former un carré magique de 2 x 2. Appelons les quatre nombres différents A, B, C et D. Alors, si nous pouvons créer un carré magique, les quatre lignes, colonnes et diagonales doivent donner le même nombre, N.

Une

B

C

D

Nous pouvons écrire 6 équations, A + B = N, C + D = N, A + C = N, B + D = N, A + D = N et C + B = N.

Résolvons maintenant la première équation pour A :

A = N – B

Si nous résolvons la troisième équation pour A, nous obtenons A = N – C. En admettant que A = A, nous obtenons N – C = N – B, en d'autres termes, B = C. Ce ne peut pas être un carré magique car, dans un carré magique, tous les nombres sont différents. En fait, pour que les 6 équations soient vraies, il faut que A = B = C = D. Ce n'est pas du tout un carré magique !