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Quadrados Mágicos

Enigmas Matemáticos do Mês 
Quadrados Mágicos

Em abril desafiamos você a criar quadrados  mágicos com os números 1 a 9. Continue a ler para ver as várias soluções interessantes que recebemos.

Solução

Nosso enigma era redispor esses números de modo que as somas das três fileiras, das três colunas e das duas diagonais fossem iguais.

1   2   3
4   5   6
7   8   9

Em outras palavras, se representássemos os números nos cubos por letras:

a   b   c
d   e   f
g   h   i

deveria ser verdadeiro que

a + b + c = d + e + f = g + h + i = a + d + g = b + e + h = c + f + i = a + e + i = c + e + g

Dionicio enviou a seguinte solução:

8   3   4
1   5   9
6   7   2

Existem várias outras soluções que resultam de inverter ou girar o Quadrados  Mágico de Dionicio. Por exemplo: se girarmos o padrão 90º em sentido horário, temos

6   1   8
7   5   3
2   9   4

Invertendo o padrão girado ao longo de seu eixo vertical, temos

8   1   6
3   5   7
4   9   2

Vincent Vieugue apresentou a seguinte solução:

Vamos representar os nove números pelas letras:

a   b   c
d   e   f
g   h   i

O primeiro número que precisamos descobrir é a soma de cada fileira, coluna ou diagonal. Vamos chamar esse número de X. Se olharmos apenas para as três fileiras, deve ser verdadeiro que:

Equação 1) a + b + c = d + e + f = g + h + i = X

Também sabemos que, se somarmos as três fileiras juntas, seja qual for a disposição dos números, o valor total deve ser a soma de todos os números disponíveis nessa disposição. Em outras palavras, deveríamos ter:

Equação 2) a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Na Equação 2, podemos substituir (a + b + c) , (d + e + f) , (g + h + i) com o número X da Equação 1. Obtemos então:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + I) = X + X + X = 45
3X = 45
X = 15

O próximo número a ser descoberto é e, que está no centro do cubo. Por causa de sua posição, o e é ligado a todos os outros números pelas seguintes equações:

Equações 3) d + e + f = 15

b + e + h = 15

a + e + i = 15

c + e + g = 15

Vamos juntar todas essas equações. Obtemos então:

(d + e + f) + (b + e + h) + (a + e + I) + (c + e + g) = 60

Ao reordenar os números, nós temos:

(a + b + c + d + e + f + g + h + i) + (e + e + e) = 60

Usando a Equação 2, podemos substituir a primeira expressão por 45 e, portanto

45 + 3e = 60
e = 5

Agora, sabemos que a disposição começa assim:

a   b   c
d   5   f
g   h   i

E as Equações 3 devem ser verdadeiras, o que significa que, ao substituir e por 5

d + f = b + h = a + i = c + g = 10

Para obter 10, as únicas combinações possívels com todos os números restantes disponíveis são (9 + 1), (8 + 2), (7 + 3) e (6 + 4).

Vamos tentar colocar o (9,1) primeiro.

Como podemos girar 90º a disposição para obter a mesma configuração, temos apenas duas soluções:

Substituir ("a" e "i"). Se substituirmos ("c" e "g") obteremos a mesma resposta.
substituir ("b" e "h"). Se substituirmos ("d" e "f"), obteremos a mesma resposta.

Primeiro, vamos testar a solução 1.

Se a = 9 e i = 1, precisamos solucionar as seguintes equações:

Equações 4) b + c = d + g = 15 - 9 = 6

Sabemos que b,c,d e g precisam ser números diferentes. Os únicos números remanescentes para validar a Equação 4 são 4 e 2.
Isso significa que a Equação é impossível de solucionar e, portanto, os números 9 e 1 não podem estar na posição a
e i, ou, c e g.

Primeiro, vamos testar a solução 2.

Se b = 9 e h = 1, precisamos solucionar as seguintes equações:

Equação 5) a + c = 6
Equação 6) g + i = 14

Como a e c precisam ser dois números diferentes, as únicas soluções disponíveis são

a = 4 e c = 2 ou
a = 2 e c = 4.

Vamos colocar todos os números que encontramos até agora. A disposição fica assim:

4   9   2
d   5   f
g   1   i

Agora fica fácil terminar a disposição:

i = 15 - 4 - 5 = 6
g = 15 - 2 - 5 = 8
d = 15 - 4 - g = 15 - 4 - 8 = 3
f = 15 - 2 - i = 15 - 2 - 6 = 7

A solução final é:

4   9   2
3   5  7
8   1   6

Ou qualquer uma das seguintes rotações:

8  3  4
1  5  9
6  7  2
6  1  8
7  5  3
2  9  4
2  7  6
9  5  1
4  3  8
 
       
2  9  4
7  5  3
6  1  8
6  7  2
1  5  9
8  3  4
8  1  6
3  5  7
4  9  2
4  3  8
9  5  1
2  7  6

Indo Além

Quantas disposições diferentes você consegue fazer com trocas e rotações?
Você consegue fazer um cubo mágico de 3 por 3 usando outros números que não sejam 1 a 9?
Você é capaz de fazer um cubo mágico maior, como 4 por 4 ou 5 por 5?

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