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Tout le monde sait ce qu'est un « domino » : une pièce de jeu composée de deux carrés adjacents. Il possède de zéro à 6 points sur chaque carré et dans la plupart des jeux qui se pratiquent avec des dominos, le but est de placer l'un à côté de l'autre deux dominos ayant le même nombre de points sur l'un des carrés.
Les mathématiciens aiment généraliser. En 1953, un mathématicien nommé Solomon Golomb a inventé la notion de polyominos : ce sont des objets géométriques conçus en reliant un certain nombre de carrés par leurs côtés correspondants. Vous pouvez imaginer les polyominos comme des objets solides que l'on peut saisir et déplacer dans l'espace. Il est possible de créer de très nombreuses énigmes en utilisant les polyominos.
Voici quelques exemples de polyominos :
Monomino |
Domino |
Triomino |
Tétromino |
Pentamino |
Hexamino |
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Vous pouvez former des polyominos avec autant de carrés que vous le souhaitez. Comme vous pouvez le constater, il n'y a qu'une seule façon de former un monomino ou un domino. Cependant il existe des façons de plus en plus nombreuses de former n'importe quel autre type de polyomino. Par exemple, il existe deux façons de former des triominos :
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1. Voici un petit problème pour vous échauffer les méninges
Il existe exactement cinq tétrominos différents (formes constituées de quatre carrés). Parviendrez-vous à les trouver ? Pouvez-vous prouver qu'il n'y en a pas plus de cinq ? Dessinez vos solutions sur du papier millimétré.
Vous pouvez fabriquer ou utiliser quelques carreaux de carrelage ou autres cubes pour réellement construire vos tétrominos avant de les dessiner sur du papier millimétré.
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Voici une question intéressante : Comment pouvez-vous être certain que deux tétrominos sont différents ? Par exemple, voici deux tétrominos qui semblent différents. Mais d'un point de vue mathématique, ils sont identiques. Comprenez-vous pourquoi ?
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Une |
B |
Les tétrominos A et B sont congruents. Si vous prenez le tétromino A et que vous le faites tourner de 90 degrés vers la droite, vous verrez qu'il pourrait parfaitement se superposer au tétromino B. Il s'agit d'un test courant qui peut être utilisé pour déterminer si deux formes bidimensionnelles quelconques sont congruentes. Imaginez les tétrominos comme des objets que l'on peut saisir et déplacer dans l'espace. Si vous pouvez saisir l'une des formes et la faire pivoter, la retourner et/ou la faire coulisser de façon à ce qu'elle se superpose exactement à une autre forme, alors les deux formes sont congruentes.
2. Voici votre problème principal
Trouver tous les pentaminos possibles : ce sont des formes qui réunissent exactement cinq carrés ayant au moins une arête en commun. Combien de pentaminos différents pouvez-vous trouver ? Comment saurez-vous que vous les avez tous trouvés ? Dessinez vos solutions sur du papier millimétré.
Voici une bonne astuce
Si vous prenez un échiquier et que vous retirez les quatre carrés situés dans les coins, vous obtiendrez un modèle pouvant contenir exactement tous les pentaminos différents qui existent. Si toutes vos solutions différentes peuvent tenir dans ce modèle, alors vous aurez trouvé tous les pentaminos possibles. (Ce n'est toutefois pas une tâche facile. Cela nécessite de faire des essais, des erreurs, de visualiser dans l'espace et surtout beaucoup de patience.)
3. Voici un défi supplémentaire
Une fois que vous aurez trouvé tous les pentaminos, essayez de trouver tous les hexaminos possibles, à savoir les formes constituées de six carrés. Dessinez vos solutions sur du papier millimétré.
Informations complémentaires
Les polyominos permettent de poser et de résoudre une multitude de problèmes mathématiques. Vous en trouverez des centaines dans le livre de Solomon W. Golomb intitulé Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems and Packings, (Princeton University Press, Seconde édition, 1994). Dans cet ouvrage en anglais, vous trouverez littéralement des centaines de problèmes que vous pourrez tenter de résoudre pour vous amuser, comme les énigmes géométriques. Si vous êtes un mathématicien sérieux, vous trouverez une foule d'explications ainsi que bon nombre de conjectures curieuses qui n'ont pas encore trouvé d'explication concluante (du moins au moment de la publication du livre).
Trois notions mathématiques fortes sont impliquées dans les énigmes de ce mois-ci. La première d'entre elles est le concept de congruence, évoqué ci-dessus.
Mathématiquement, deux formes sont congruentes si elles ont la même dimension et la même forme, indépendamment de leur orientation. Si vous pouvez saisir l'une des formes et la faire pivoter, la retourner et/ou la faire coulisser de façon à ce qu'elle se superpose exactement à une autre forme, alors les deux formes sont congruentes. Il s'agit d'un test simple pour déterminer la congruence. Il en existe beaucoup d'autres.
La seconde notion repose sur l'idée qu'il est parfois nécessaire de faire un test pour s'assurer que deux objets mathématiques sont identiques ou différents. Ce n'est pas parce que deux polyominos semblent différents que vous pouvez garantir qu'ils le sont avant d'en avoir pris un pour essayer de voir s'il n'était pas congruent avec l'autre. Pour les polyominos, la congruence constitue le test à effectuer, mais les mathématiciens disposent de nombreux autres tests qu'ils peuvent utiliser pour différents types de problèmes.
Troisièmement, il s'agit de la notion consistant à trouver toutes les façons possibles de résoudre un problème particulier. Il s'agit d'un type de problème courant en combinatoire. Par exemple, trouvez toutes les façons possibles d'ordonner les chiffres de 1 à n. Ou encore, pour un exemple plus en rapport avec la vie quotidienne, un restaurant propose des pizzas avec quatre garnitures différentes : oignons, champignons, saucisses et supplément fromage. Combien de types de pizzas différentes peut-on faire en utilisant 1, 2, 3 ou 4 de ces garnitures ? (Bien sûr un vrai restaurant proposerait probablement beaucoup plus que quatre garnitures.)
Les problèmes de combinatoire impliquant la géométrie peuvent être beaucoup plus complexes. Par exemple; si N est le nombre de carrés d'un polyomino, il n'existe aucune règle ou formule connue permettant de déterminer le nombre de polyominos différents que l'on peut construire avec toute valeur de N. (Les mathématiciens sont parvenus à déterminer le nombre exact de polyominos possibles pour de nombreuses valeurs de N, mais aucune règle générale n'a encore été trouvée.)
En plus du livre original de Solomon Golomb, Polyominoes, de nombreux autres livres ont été rédigés à ce sujet et s'adressent aussi bien aux mathématiciens sérieux qu'à ceux qui souhaitent s'amuser un peu. Si vous recherchez le terme « polyominos » sur Internet, vous trouverez des milliers de références et même quelques jeux téléchargeables basés sur les polyominos. Si vous êtes un inconditionnel du jeu vidéo Tetris, vous constaterez que toutes les pièces du jeu sont des tétrominos.
Réfléchissez, puis .
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