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Todos saben lo que es un “dominó”: un juego de piezas formadas por dos cuadrados adyacentes. Cada pieza tiene de cero a seis puntos en cada cuadrado, y la mayoría de los juegos que se juegan con dominós consisten en unir dos piezas con la misma cantidad de puntos.
A los matemáticos les gusta generalizar. En 1953, un matemático llamado Solomon Golomb tuvo la idea de los poliominós: objetos geométricos formados al conectar una cierta cantidad de cuadrados mediante los lados coincidentes. Los poliominós son objetos sólidos que se pueden tomar y trasladar. Hay muchos acertijos que se pueden formar usando piezas de poliominó.
Éstos son algunos poliominós de ejemplo:
Monominó |
Dominó |
Trominó |
Tetrominó |
Pentominó |
Hexominó |
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Se pueden formar poliominós con cualquier cantidad de cuadrados. Como puedes ver, hay una única manera de formar un monominó o un dominó. Sin embargo, hay cada vez más maneras de formar cualquier otro tipo de poliominó. Por ejemplo, hay dos maneras de formar trominós:
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1. Aquí tenemos un pequeño problema para que practiques
Hay exactamente cinco tetrominós diferentes (formas constituidas por cuatro cuadrados). ¿Puedes encontrarlos? ¿Puedes probar que no hay más de cinco? Dibuja tus resultados en papel cuadriculado.
Si deseas puedes armar o conseguir algunos azulejos o cubos cuadrados y armar los tetrominós antes de dibujarlos en papel cuadriculado.
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Ésta es una pregunta interesante: ¿Cómo puedes estar seguro de que dos tetrominós son diferentes? Por ejemplo, aquí hay dos tetrominós que se ven diferentes. Pero matemáticamente son iguales. ¿Puedes ver por qué?
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A |
B |
Los tetrominós A y B son congruentes. Si tomases el tetrominó A y lo giraras 90 grados a la derecha, podrías ver que encaja exactamente encima del tetrominó B. Ésta es una prueba común que se puede usar para determinar si cualquiera de las dos formas bidimensionales son congruentes. Considera los tetrominós como objetos que se pueden tomar y trasladar. Si puedes tomar una de las formas y girarla, muévela o deslízala de modo que encaje exactamente encima de las demás formas, entonces las dos formas son congruentes.
2. Éste es tu problema principal
Encuentra todos los pentominós posibles: formas constituidas al unir exactamente cinco cuadrados a fin de que coincidan a lo largo de por lo menos una arista. ¿Cuántos pentominós diferentes puedes encontrar? ¿Cómo sabrás que los encontraste a todos? Dibuja tus resultados en papel cuadriculado.
He aquí una pista importante
Si tomas un tablero de ajedrez y quitas los cuatro cuadrados de las esquinas, tendrás un patrón en el que todos los pentominós diferentes encajarán en forma exacta. Si puedes encajar las cuatro piezas diferentes en esta forma, habrás encontrado todos los pentominós posibles. (Sin embargo, no es una tarea fácil. Requiere ensayo y error, visualización espacial y mucha paciencia).
3. Éste es un desafío extra
Después de estar seguro de que encontraste todos los pentominós, trata de encontrar todos los hexominós posibles, es decir, formas constituidas por seis cuadrados. Dibuja tus resultados en papel cuadriculado.
Antecedentes matemáticos
Hay muchos problemas matemáticos que se pueden plantear y resolver con poliominós. Encontrarás cientos de estos en un libro de Solomon W. Golomb llamado Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems and Packings, (Princeton University Press, segunda edición, 1994). En este libro encontrarás literalmente cientos de problemas, muchos de los cuales puedes intentar resolver como acertijos geométricos para divertirte. Si eres un matemático de verdad, encontrarás muchas pruebas y muchas conjeturas intrigantes que aún no se han demostrado en forma concluyente (por lo menos hasta la publicación de este libro).
Hay tres ideas matemáticas contundentes que forman parte de los acertijos de este mes. La primera es el concepto de congruencia, que presentamos antes.
Matemáticamente, dos formas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma, sin importar su orientación. Si puedes tomar una de las formas y girarla, muévela o deslízala de modo que encaje exactamente encima de las demás formas, entonces las dos formas son congruentes. Ésta es una prueba sencilla de congruencia. Hay muchas más.
La segunda es la idea de que a veces hay que probar para estar seguro de que dos objetos matemáticos son iguales o diferentes. Simplemente porque dos poliominós parecen diferentes, no se puede estar seguro de que sean diferentes hasta que se haya tomado uno y se haya comprobado que no es congruente con el otro. Para los poliominós, la congruencia es la prueba, pero los matemáticos tienen muchas otras pruebas que pueden usar para los diferentes tipos de problemas.
La tercera es la idea de encontrar todas las maneras posibles de resolver un problema en particular. Éste es un tipo común de problema en la combinatoria. Por ejemplo, encontrar todas las maneras posibles de ordenar los números de 1 a n. O, para mencionar un ejemplo más cotidiano, un restaurante sirve cuatro variedades diferentes de pizza: cebollas, hongos, salchichas y queso extra. ¿Cuántos tipos de pizzas diferentes pueden hacer usando 1, 2, 3 ó 4 de las variedades? (Claro que un restaurante verdadero probablemente ofrecería más que cuatro variedades).
Los problemas de combinatoria con geometría pueden ser mucho más complejos. Por ejemplo, si N es la cantidad de cuadrados en un poliominó, no hay una regla o fórmula conocida que pueda indicar cuántos poliominós diferentes se pueden construir para cualquier valor de N. (Los matemáticos han descifrado la cantidad exacta de poliominós para muchos valores de N, pero no se ha encontrado ninguna regla general).
Además del libro original de Solomon Golomb, Polyominoes, se han escrito varios libros más sobre los poliominós, destinados a matemáticos profesionales y a aficionados. Si buscas "poliominós" en Internet, encontrarás miles de referencias e incluso algunos juegos de poliominó para descargar. Si conoces el juego de computación Tetris, reconocerás que las piezas del juego son todas tetrominós.
Después de intentarlo, .
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