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Redes de poliedros

Acertijos matemáticos del mes 
Redes de poliedros

 

red cubo

El acertijo del mes pasado consistía en encontrar redes de cubos. Una red es una forma bidimensional que se puede plegar para obtener una forma tridimensional. Por ejemplo, el hexominó (forma compuesta por seis cuadrados) que aparece en la figura se puede plegar para formar un cubo. Los cuadrados rojos se pliegan para formar la base y los lados del cubo, y el cuadrado verde se pliega para formar la parte superior del cubo.

Un cubo es una figura especial de tipo tridimensional llamado "poliedro regular". Un cubo es una poliedro regular porque todas las caras son polígonos regulares congruentes.

Este mes trataremos de encontrar redes para tres poliedros relacionados: un tetraedro regular (4 caras de triángulo equilátero), un octaedro regular (8 caras de triángulo equilátero) y para otro poliedro común, la pirámide cuadrada (4 triángulos equiláteros y un cuadrado).

 

Desafío 1

¿Cuántas redes puedes encontrar para un tetraedro? Un tetraedro tiene cuatro caras, de modo que cada red está compuesta por cuatro triángulos equiláteros, conectados por sus aristas.

  tetraedro

Desafío 2

¿Cuántas redes puedes encontrar para una pirámide cuadrada? Una pirámide cuadrada tiene una cara cuadrada y cuatro caras triangulares, de modo que cada red está compuesta por un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros, conectados por sus aristas. Trata de encontrar todas las redes posibles.

  pirámide

Desafío 3

Encuentra por lo menos una red para un octaedro regular. Fíjate si puedes encontrar más de una. Cada red constará de ocho triángulos equiláteros, conectados por sus aristas.

  octaedro

Antecedentes

Primero, veamos algunas definiciones. Un polígono es una forma bidimensional cerrada cuyas aristas son líneas rectas que no se intersectan. Un poliedro es una figura tridimensional, sólida o hueca, cuyos lados son polígonos. La palabra proviene del griego poly, muchos, + hedron, lado o base. Un poliedro regular es aquél cuyas caras son todos polígonos regulares congruentes. En realidad, hay sólo cinco poliedros regulares, a veces llamados “sólidos pitagóricos”, el cubo y cuatro más: el tetraedro (4 caras), octaedro (8 caras), dodecaedro (12 caras) e icosaedro (20 caras).

 

tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

 

 

 

Hay muchísimos sitios web que tratan sobre la matemática de los poliedros. Éstos son sólo algunos:

Geometría de poliedros (inglés)

Stella: Navegador de poliedros (inglés)

Desplegado de poliedros (inglés)

La geometría bidimensional y la tridimensional se estudian como si fuesen materias diferentes. En los acertijos de este mes y del próximo mes, estudiamos una forma en que están relacionadas, a través de la construcción de redes, formas bidimensionales compuestas por polígonos que se pliegan en poliedros.

Este acertijo se basa en tres ideas matemáticas importantes.

La primera es el concepto de congruencia, que se necesita cuando tratamos de decidir si dos formas que parecen diferentes son en realidad idénticas. Matemáticamente, dos formas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma, sin importar su orientación. Si puedes tomar una de las formas y girarla, muévela o deslízala de modo que encaje exactamente encima de las demás formas, entonces las dos formas son congruentes. Ésta es una prueba sencilla de congruencia. Hay muchas más. Como ejemplo, piensa en estas tres formas, cada una compuesta por cuatro triángulos equiláteros y un cuadrado. ¿Dos de ellos son congruentes? ¿Cuáles?

 

red red red

 

La segunda es la idea de que a veces hay que probar para estar seguro de que dos objetos matemáticos son iguales o diferentes. Simplemente porque dos formas parecen diferentes, no se puede estar seguro de que sean diferentes hasta que se haya tomado una y se haya comprobado que no es congruente con la otra. Para las redes, la congruencia es la prueba, pero los matemáticos tienen muchas otras pruebas que pueden usar para los diferentes tipos de problemas.

La tercera es la idea de encontrar todas las maneras posibles de resolver un problema en particular. Éste es un tipo común de problema en la combinatoria. Por ejemplo, encuentra todas las formas posibles de ordenar los números de uno a n. O, para mencionar un ejemplo más cotidiano, un restaurante sirve cuatro variedades diferentes de pizza: cebollas, hongos, salchichas y queso extra. ¿Cuántos tipos de pizzas diferentes pueden hacer usando 1, 2, 3 ó 4 de las variedades? (Claro que un restaurante verdadero probablemente ofrecería más que cuatro variedades).

Los problemas de combinatoria con geometría pueden ser mucho más complejos. Por ejemplo, si N es el número de caras de un poliedro, no existe una regla o fórmula conocida que pueda decirte cuántas redes diferentes se pueden construir para un poliedro con N caras. (Los matemáticos han descifrado la cantidad exacta de redes para muchos poliedros diferentes, pero no se ha encontrado ninguna regla general).

Hay una estrategia importante de resolución de problemas que se puede usar en el acertijo de este mes. Una vez que hayas resuelto un problema, podrás usar la solución al primer problema para resolver uno más difícil.

 

Después de intentarlo comprueba nuestras soluciones.


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