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Pintando cubos

Acertijos matemáticos del mes
Pintando cubos

CubosPuzzles‘R’Us es una pequeña compañía que fabrica rompecabezas tridimensionales y los vende por Internet. Uno de sus rompecabezas más populares es un constructor de cubos. El constructor de cubos consiste en un conjunto de pequeños cubos rojos y blancos que se deben combinar para formar un cubo más grande. Algunos de esos cubos tienen sólo una cara pintada de rojo, otros tienen dos caras adyacentes pintadas de rojo y otros tienen tres caras adyacentes pintadas de rojo. Algunos cubos son todos blancos.

Cubo

El rompecabezas consiste en ensamblar todos los cubos pequeños para armar un cubo más grande, llamado Supercubo de cuatro dimensiones, de forma tal que la cara externa del cubo grande sea toda roja y los cubos pequeños que no tocan ninguna arista sean todos blancos. El supercubo de 4 dimensiones se llama así porque cada uno de sus lados tiene una longitud de cuatro cubos pequeños.

Problema 1

Tu tarea consiste en colaborar para que Puzzles ‘R’ Us haga más eficiente su proceso de fabricación de rompecabezas al indicar a sus empleados cuántos cubos exactamente deben pintar de diferentes maneras para formar un supercubo de cuatro dimensiones. Responde las siguientes preguntas:

  • ¿Cuántos cubos pequeños se necesitarán para construir un supercubo de cuatro dimensiones?
  • ¿Cuántos cubos se deberán pintar de rojo en tres lados adyacentes?
  • ¿Cuántos cubos se deberán pintar de rojo en dos lados adyacentes?
  • ¿Cuántos cubos se deberán pintar de rojo solamente en un lado?
  • ¿Cuántos cubos pequeños deberán pintarse completamente de blanco?

Problema 2

Puzzles ‘R’ Us desea ampliar su línea de rompecabezas de cubos, su objetivo es construir cubos más grandes y más pequeños utilizando las mismas piezas básicas. Tu tarea consiste en ayudar a la compañía al responder a las mismas cinco preguntas para un supercubo de N dimensiones, es decir, un cubo de N cantidad de cubos por cada arista.

Pistas:

  1. Primero piensa en las propiedades básicas de un cubo: ¿Cuántas caras (superficies) tiene? ¿Cuántos vértices (esquinas) tiene? ¿Cuántas aristas tiene? Estas propiedades son iguales para todos los cubos, independientemente de su tamaño.
  2. Intenta desarrollar tu conocimiento respondiendo primero a las cinco preguntas sobre un supercubo de 2 dimensiones y un supercubo de 3 dimensiones. Si puedes responderlas, un supercubo de 4 dimensiones debería resultarte bastante fácil. Entonces, si buscas los patrones en tus datos, podrás responder a las preguntas sobre un supercubo de N dimensiones.
  3. Lleva un registro de tus resultados en una tabla como ésta

 

Nombre del cubo Cantidad total de cubos necesarios  
Cantidad de cubos pintados con:
3 lados rojos 2 lados rojos 1 lado rojo Todos los lados blancos
Supercubo de 2 dimensiones          
Supercubo de 3 dimensiones          
Supercubo de 4 dimensiones          
Supercubo de 5 dimensiones          
           
Supercubo de N dimensiones          

 

 

Después de intentarlo, comprueba nuestra solución.


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