Cuadrados mágicos

^{Acertijos matemáticos del mes} 
Cuadrados mágicos

En abril te desafiamos a crear cuadrados mágicos con los números del 1 al 9. Continúa leyendo para ver algunas de las interesantes soluciones que recibimos.

Solución

Nuestro acertijo consistía en reacomodar estos números de forma tal que las sumas de las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales sean todas iguales.

1   2   3
4   5   6
7   8   9

Es decir, si representamos con letras los números de los cuadrados:

a   b   c
d   e   f
g   h   i

entonces sería verdadero que

a + b + c = d + e + f = g + h + i = a + d + g = b + e + h = c + f + i = a + e + i = c + e + g

Dionicio envió esta solución:

8   3   4
1   5   9
6   7   2

Existen otras soluciones posibles que se obtienen al invertir o rotar el Cuadrado mágico de Dionicio. Por ejemplo, si rotamos el patrón 90º en el sentido de las agujas del reloj, obtenemos

6   1   8
7   5   3
2   9   4

Al invertir el patrón rotado sobre su eje vertical, obtenemos

8   1   6
3   5   7
4   9   2

Vincent Vieugue nos ofrece esta solución:

Representemos con letras los nueve números:

a   b   c
d   e   f
g   h   i

El primer número que debemos hallar es la suma de cada fila, columna o diagonal. Llamemos X a ese número. Si miramos solamente las 3 filas, debe ser verdadero que:

Ecuación 1) a + b + c = d + e + f = g + h + i = X

También sabemos que si sumamos las 3 filas, cualquiera que sea la disposición de los números, el valor total debe ser la suma de todos los números incluidos en esa disposición. En otras palabras, deberíamos tener:

Ecuación 2) a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

En la Ecuación 2, podemos reemplazar (a + b + c), (d + e + f) y (g + h + i) con el número X de la Ecuación 1. Así obtenemos:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + I) = X + X + X = 45
3X = 45
X = 15

El siguiente número que debemos buscar es e, que se encuentra en el centro del cuadrado. Debido a su posición, e está relacionado con el resto de los números por las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones 3) d + e + f = 15

b + e + h = 15

a + e + i = 15

c + e + g = 15

Sumemos todas estas ecuaciones juntas y obtenemos:

(d + e + f) + (b + e + h) + (a + e + I) + (c + e + g) = 60

Al reordenar los números obtenemos

(a + b + c + d + e + f + g + h + i) + (e + e + e) = 60

Con la Ecuación 2, podemos reemplazar la primera expresión por 45, por lo tanto

45 + 3e = 60
e = 5

Sabemos que la disposición de los números comienza así:

a   b   c
d   5   f
g   h   i

y que las Ecuaciones 3 deben ser verdaderas, lo que significa que al reemplazar e por 5

d + f = b + h = a + i = c + g = 10

Para obtener 10, las únicas combinaciones posibles con los números restantes son (9 + 1), (8 + 2), (7 + 3) y (6 + 4).

Intentemos primero ubicar el (9,1).

Como podemos rotar 90º la disposición para obtener la misma configuración, tenemos solamente 2 soluciones:

reemplazar (a e i). Al reemplazar (c y g) obtendremos el mismo resultado.
reemplazar (b y h). Al reemplazar (d y f) obtendremos el mismo resultado.

Comprobemos primero la solución 1.

Si a = 9 e i = 1, debemos resolver las siguientes ecuaciones:

Ecuación 4) b + c = d + g = 15 - 9 = 6

Sabemos que b, c, d y g tienen que ser números diferentes. Los únicos números que quedan para validar la Ecuación 4 son 4 y 2.
Esto significa que es imposible resolver la Ecuación 4 y que, por lo tanto, no se puede ubicar a los números 9 y 1 en la posición a
e i, o, c y g.

Comprobemos ahora la solución 2.

Si b = 9 y h = 1, debemos resolver las siguientes ecuaciones:

Ecuación 5) a + c = 6
Ecuación 6) g + i = 14

Como a y c deben ser dos números diferentes, las únicas soluciones disponibles son:

a = 4 y c = 2 o
a = 2 y c = 4.

Ubiquemos los números que hemos encontrado hasta el momento. La disposición queda así:

4   9   2
d   5   f
g   1   i

Ahora es fácil completar el cuadro:

i = 15 - 4 - 5 = 6
g = 15 - 2 - 5 = 8
d = 15 - 4 - g = 15 - 4 - 8 = 3
f = 15 - 2 - i = 15 - 2 - 6 = 7

Una última solución es:

4   9   2
3   5  7
8   1   6

o cualquiera de las rotaciones siguientes:

8  3  4 1  5  9 6  7  2	6  1  8 7  5  3 2  9  4	2  7  6 9  5  1 4  3  8
2  9  4 7  5  3 6  1  8	6  7  2 1  5  9 8  3  4	8  1  6 3  5  7 4  9  2	4  3  8 9  5  1 2  7  6

Avancemos

¿Cuántas disposiciones diferentes puedes obtener con los giros y las rotaciones?
¿Puedes construir un cuadrado mágico de 3 casillas por lado utilizando otros números que no sean del 1 al 9?
¿Puedes crear un cuadrado mágico más grande, por ejemplo de 4 ó 5 casillas por lado?

Más información sobre cuadrados mágicos

Para aprender más sobre los cuadrados mágicos, visita El Foro de Matemática (inglés).