الألغاز الرياضية للشهر

تذوق عصير الفاكهة

قمنا، في سبتمبر، بدعوتك لمعرفة احتمالية تخمين نكهة العصير الموجودة في عدة علب دون النظر إلى الملصق.

لنفترض انك دعيت إلى حفل لتذوق عصير الفاكهة. هناك عدة علب من عصير الفاكهة بنكهات مختلفة. إن العلب مغطاه بورقة لذا لا تستطيع رؤية الملصقات عليها.

لديك قائمة بجميع النكهات المختلفة و عليك أن تخمن نوع الفاكهة في كل علبة، من غير النظر الى الملصق عليها. في كلمات أخرى, لديك فرصة واحدة لكل علبة. لا تستطيع أن تخمن أكثر من مرة واحدة.

إن لغزنا لهذا الشهر عبارة عن جزأين:

الجزء الأول: 

لنقل أن لديك علبتين من العصير، ما هي احتمالات أن تخمن بشكل صحيح نوع الفاكهة في كل منهما؟ ( بما أنها لغز رياضيات، سنفترض انك لن تميز الطعم عن طريق التذوق و ستخمن بشكل عشوائي.)

و إذا كان لديك ثلاثة علب من العصير، ما هي احتمالية أن تخمنها كلها بشكل صحيح ماذا لو كان لديك أربعة علب من العصير؟ ماذا لو كان لديك 10 علب؟ ماذا لو كان لديك 100 علب؟

هل يمكنك إيجاد معادلة عامة لمعرفة احتمال أن تخمن كل النكهات بشكل صحيح لعدد ن من العلب؟؟

الجزء الثاني: 

الآن دعونا ننظر إالى إحتمالات في أن تقوم بجميع التخمينات بشكل خاطئ. إذا كان هناك علبتين من العصير فقط ثم قمت بالتخمين إما بشكل صحيح للتخمينين أو بشكل خاطئ للتخمين. لكن بثلاث علب فإنه من الممكن أن تحصل على إحدى التخمينات صحيحة و التخمينين الباقيين خاطئة. وما هي احتمالية الحصول على جميع التخمينات خاطئة؟

بوجود 10 علب من العصير، ما هي احتمالية الحصول على جميع التخمينات بشكل صحيح؟ ماذا لو كانت العلب 100؟

هل يمكنك التوصل إلى معادلة عامة لاحتمالية عدم التوصل إلى أي جواب صحيح لعدد ن من العلب؟

و أخيرا، ما هي احتمالية الحصول على إجابة واحدة صحيحة؟

قارن نتائجك بحلنا.